引言
日本語のタイトルを書いても、この文章は主に日本語の内容ではありません。時間があれば追加かもしれません
题目一：https://blog.yexca.net/archives/183
题目二：本文
题目三：https://blog.yexca.net/archives/188
唉，干劲总是会被现实所打败，不过这次我伤心的时间倒是变短了，希望慢慢的可以好起来
关于这题的话，应该属于一个单独的向量的课程吧，我是一点没看懂，后来想到 3b1b 的线性代数的本质才想到了数学中向量的一般表示，然后慢慢想
不过事实上题目几乎也把这些东西的定义都给了出来，如果日本的教学不学的话，相当于是当场看定义，然后据此解题。只能说能解出来是真的很厉害，望而却步
同时，因为全是证明题，无法确保过程是否正确
题目
Source: https://www.i.u-tokyo.ac.jp/edu/entra/examarchive.shtml
题目版权属于东京大学所有，仅为了方便观看而引用，无盈利行为
$xy$ 平面内の滑らかな曲線 $\boldsymbol{p}=(p(t),q(t))(t \in [a,b])$ を考える。時刻 $t=a^{‘} $ から $b^{‘}$ までの $\boldsymbol{p}$ の長さ $l_{a^{‘},b^{‘}}$ は
\[l_{a^{'},b^{'}} = \int_{a^{'}}^{b^{'}} \sqrt{(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} t})^2+(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t})^2} \mathrm{d} t\]と定義され、$\boldsymbol{p}$ の全長 $l_{a,b}$ を $L$ で表す。曲線 $\boldsymbol{p}$ は、$\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{p}}{\mathrm{d} t}=(0,0)$ とはならないものとする。時刻 $a$ から $t$ までの $\boldsymbol{p}$ の長さ $l_{a,t}$ を変数 $s=s(t)$ で表すと、$\boldsymbol{p}$ を媒介変数 $s \in [0,L]$ の曲線とみることができる。そして、$s$ も時刻と呼ぶ。以下の問いに答えよ。
（１）以下の等式を示せ。
\[\sqrt{(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s})^2+(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s})^2} = 1\]（２）$\theta = \theta(s)$ を時刻 $s$ における $\boldsymbol{p}$ の接線ベクトル $\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{p}}{\mathrm{d} s} = (\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s},\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s})$ と $x$ 軸とのなす角とする。このとき、以下の等式を示せ。
\[\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d} s^2}-\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s}\frac{\mathrm{d}^2 p}{\mathrm{d} s^2} = \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s}\]以下では、曲線 $\boldsymbol{p}$ は、滑らかな閉曲線で、凸集合 $\boldsymbol{K}$ の境界となっているもの。また、$\boldsymbol{p}$ は、反時計方向に $\boldsymbol{K}$ をまわるものとする。
（３）任意の時刻 $s$ で $\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s} \ge 0$ となることを説明せよ。
（４）$\boldsymbol{K}$ に含まれない点 $\boldsymbol{x}=(x,y)$ は、時刻 $s \in [0,L]$ および $\boldsymbol{x}$ と $\boldsymbol{K}$ の距離 $r$ によって。
\[\boldsymbol{x} = \boldsymbol{p} (s) + r \boldsymbol{u} (s)\]と一意に表すことができる。ここで、$\boldsymbol{u} (s)$ は、時刻 $s$ における $\boldsymbol{p}$ の単位法線ベクトルで、$\boldsymbol{K}$ の外を向いているものとする。そのような $\boldsymbol{x} = (x,y)$ に対して、以下の等式を示せ。
\[\left | det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial x}{\partial r} \\ \frac{\partial y}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial r} \end{pmatrix} \right | =1 +r\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s}\]（５）非負実数 $D$ に対し、$K_D$ を $K$ から距離 $D$ 以内にある点の集合とする。このとき、$K_D$ の面積 $A_D = \iint_{K_D} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$ は、$K$ の面積 $A$ と $\boldsymbol{p}$ の全長 $\boldsymbol{L}$ を用いて
\[A_D = A + LD + \pi D^2\]と表せることを示せ。
中文解答
假设翻译：考虑 $xy$ 平面上的光滑曲线 $\boldsymbol{p}=(p(t),q(t))(t \in [a,b])$ ，从时刻 $t=a^{‘} $ 到 $t=b^{‘}$ 的曲线 $\boldsymbol{p}$ 的长度 $l_{a^{‘},b^{‘}}$ 定义为
\[l_{a^{'},b^{'}} = \int_{a^{'}}^{b^{'}} \sqrt{(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} t})^2+(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t})^2} \mathrm{d} t\]$\boldsymbol{p}$ 的总长度 $l_{a,b}$ 记作 $L$ 。假设 $\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{p}}{\mathrm{d} t}=(0,0)$ 不成立，用变量 $s=s(t)$ 表示从時刻 $a$ 到 $t$ 的曲线 $\boldsymbol{p}$ 的长度 $l_{a,t}$ 。这样可以将 $\boldsymbol{p}$ 看作参数 $s \in [0,L]$ 的曲线，并将 $s$ 称为时刻
这个描述其实就是弧长参数化 (arc length parametrization) 指使用曲线的弧长作为参数来表示曲线的一种特殊形式。具体来说，它将曲线上某一点到曲线起始点的距离（即弧长）作为新的参数，从而使得曲线的参数化不仅简洁，还能反映曲线的几何特性
第一问
题目翻译：证明以下等式
因为曲线的时刻 $t \in [a,b]$ ，所以曲线的全长 $L$ 为
\[l_{a,b} = \int_{a}^{b} \sqrt{(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} t})^2+(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t})^2} \mathrm{d} t\]而 $s$ 是从 $a$ 到 $t$ 的弧长，即
\[s = \int_{a}^{t} \sqrt{(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} t})^2+(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t})^2} \mathrm{d} t\]所以 $s$ 是代表了从弧线的初始点 $a$ 到当前点的弧长，所以
\[\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t} = \sqrt{(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} t})^2+(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t})^2}\]因为 $\boldsymbol{p}$ 可以看作参数 $s$ 的曲线，$s$ 是 $t$ 的函数，所以
\[\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t} \\ \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}\]即
\[\begin{align} \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t} &=\sqrt{(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t})^2+(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t})^2} \\ &=\sqrt{(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s})^2+(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s})^2} \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t} \end{align}\]因为 $\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} t} \ne 0$ 所以 $\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t} \ne 0$ 即
\[\sqrt{(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s})^2+(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s})^2} = 1\]这个证明表明在弧长参数化下，曲线的速度向量 $\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{p}}{\mathrm{d} s}$ 的长度始终为 $1$
第二问
题目翻译：$\theta = \theta(s)$ 在时刻 $s$ 时，曲线 $\boldsymbol{p}$ 的切线 $\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{p}}{\mathrm{d} s} = (\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s},\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s})$ 与 $x$ 轴的夹角。证明等式。
一般情况下，向量是从零点开始到所表示的那一点，与 $x$ 轴的夹角为 $\theta$ 则向量分量
\[v_x = \left | v \right | \cos(\theta) \\ v_y = \left | v \right | \sin(\theta)\]由第一问知 $\begin{vmatrix} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{p}}{\mathrm{d} s} \end{vmatrix} = 1$ 所以
\[\begin{align} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{p}}{\mathrm{d} s} &= (\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s},\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s}) \\ &= (\cos(\theta(s)), \sin(\theta(s))) \end{align}\]对分量对 $s$ 求导
\[\begin{align} \frac{\mathrm{d}^2 p}{\mathrm{d} s^2} &= -\sin(\theta(s)) \cdot \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s} \\ \frac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d} s^2} &= \cos(\theta(s)) \cdot \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s} \end{align}\]所以
\[\begin{align} \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d} s^2}-\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s}\frac{\mathrm{d}^2 p}{\mathrm{d} s^2} &= \cos(\theta(s)) \cdot \cos(\theta(s)) \cdot \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s} - \sin(\theta(s)) \cdot (-\sin(\theta(s)) \cdot \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s}) \\ &= (\cos(\theta(s)))^2 \cdot \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s} + (\sin(\theta(s)))^2 \cdot \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s}) \\ &= \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s} \end{align}\]第三问
假设条件：曲线 $\boldsymbol{p}$ 是一个光滑的闭曲线，并且是凸集合的边界 $\boldsymbol{K}$。而且，曲线 $\boldsymbol{p}$ 是以逆时针方向绕 $\boldsymbol{K}$ 移动
题目翻译：说明为什么任意时刻時刻 $s$ ， $\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s} \ge 0$ 恒成立
这题不好说明，因为曲线 $\boldsymbol{p}$ 是光滑凸曲线，曲线的切线变化是连续的并且不会反向，即单调的。并且是逆时针移动的话，任意时刻与 $x$ 轴的夹角 $\theta$ 都是一直在增长的，所以导数就是一直在增长的，所以 $\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s} \ge 0$ 恒成立
第四问
题目翻译：对于不包含在 $\boldsymbol{K}$ 内的点 $\boldsymbol{x}=(x,y)$ 可以唯一表示为 $s \in [0,L]$ 和 $\boldsymbol{x}$ 与 $\boldsymbol{K}$ 的距离 $r$ 的函数
\[\boldsymbol{x} = \boldsymbol{p} (s) + r \boldsymbol{u} (s)\]其中，$\boldsymbol{u} (s)$ 是時刻 $s$ 下的 $\boldsymbol{p}$ 的单位法向量，且方向指向 $\boldsymbol{K}$ 的外部。对于这样的 $\boldsymbol{x} = (x,y)$ 证明等式成立
因为 $\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{p}}{\mathrm{d} s} $ 是单位切线向量，$\boldsymbol{u} (s)$ 是当时的单位法向量且方向指向 $\boldsymbol{K}$ 的外部，所以
\[\boldsymbol{u} (s) = (\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s},-\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s})\]对 $\boldsymbol{x}$ 分别对 $s$ 和 $r$ 求偏导
\[\begin{align} \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial s} &= \frac{\partial \boldsymbol{p}}{\partial s} + r\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial s} \\ \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial r} &= \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial s} \end{align}\]求其分量的偏导，对于 $x$
\[\begin{align} \frac{\partial x}{\partial s} &= \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s} + r\frac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d} s^2} \\ \frac{\partial x}{\partial r} &= \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s} \end{align}\]对于 $y$
\[\begin{align} \frac{\partial y}{\partial s} &= \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s} - r\frac{\mathrm{d}^2 p}{\mathrm{d} s^2} \\ \frac{\partial y}{\partial r} &= -\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s} \end{align}\]所以原矩阵可以变成
\[\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial x}{\partial r} \\ \frac{\partial y}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial r} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s} + r\frac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d} s^2} & \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s} \\ \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s} - r\frac{\mathrm{d}^2 p}{\mathrm{d} s^2} & -\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s} \end{pmatrix}\]对其求行列式
\[\begin{align} \det\begin{pmatrix} \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s} + r\frac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d} s^2} & \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s} \\ \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s} - r\frac{\mathrm{d}^2 p}{\mathrm{d} s^2} & -\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s} \end{pmatrix} &= (\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s} + r\frac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d} s^2})(-\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s})-(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s} - r\frac{\mathrm{d}^2 p}{\mathrm{d} s^2})(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s}) \\ &= -(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s})^2 -r\frac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d} s^2}\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s}-(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s})^2+r\frac{\mathrm{d}^2 p}{\mathrm{d} s^2}\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s} \\ &= -[(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s})^2+(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s})^2]-r(\frac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d} s^2}\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s}-\frac{\mathrm{d}^2 p}{\mathrm{d} s^2}\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s}) \end{align}\]由第一问和第二问的结论可以得到
\[\begin{align} \left | \det\begin{pmatrix} \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s} + r\frac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d} s^2} & \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s} \\ \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s} - r\frac{\mathrm{d}^2 p}{\mathrm{d} s^2} & -\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s} \end{pmatrix} \right | &= \left | -1-r\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s} \right | \\ &= 1+r\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s} \end{align}\]其实这里出现的矩阵是雅可比矩阵
第五问
题目翻译：对于非负实数 $D$ ，定义 $K_D$ 为 $K$ 距离 $D$ 以内的点的集合。证明 $K_D$ 的面积 $A_D$ 可以用 $K$ 的面积和 $\boldsymbol{p}$ 的全长 $L$ 表示，公式略
这个证明我认为可以画个图比较好理解，但怎么用文字表述我没想到，大概就是图中的意思
其中蓝色的是 $K$ 的面积，绿色的是把 $K$ 变成长方形的面积，然后图中为了方便看把拐角 (粉色) 画的很大，并且为了方便用的长方形，实际上应该是因为凸性且光滑封闭，所有的弯折处正好组成了一个圆，这部分的面积就是 $\pi D^2$ 。这个就是想象拐角处无限小，无限逼近是一个直角，那么用 $LD$ 也是会有一定的面积没算进去 (因为是扇形)，所有的拐角没被算进去的加一起就是一个圆的面积
所以 $A_D = A + LD + \pi D^2$
Wrote with ChatGPT